Единственным аналитическим уравнением движения частиц сплошной среды является (в векторном виде) так называемое уравнение Навье–Стокса. Это уравнение получено по принципу, впервые использованному Л.Эйлером, который для этого рассматривал прямолинейный воображаемый прямоугольный параллелепипед сплошной среды, имеющий массу, на грани которого действуют нормальные силы (силы внутреннего давления), а также силы тяжести. В результате были получены (для трёх координат) три уравнения в частных производных без учёта свойства вязкости. В дальнейшем Навье и Стокс ввели (соответственно в 1821 г. и в 1845 г.) в рассмотрение силы вязкости, действующие не перпендикулярно граням параллелепипеда, а параллельно им, при условии, что величина этих сил (касательных напряжений) пропорциональна градиенту изменения скорости движения точек сплошной среды [1].
Среда с такими свойствами, которые, как это считается, отражает свойства реальных жидкостей (таких как вода, органические минеральные масла и многие другие), получила название Ньютоновской жидкости. При описанном подходе оказывается, что невозможно учесть моменты кручения, действующие на рассматриваемую жидкую частицу. Уравнения Навье-Стокса являются нелинейными уравнениями в частных производных общее решение, которых до настоящего времени не известно. А между тем решение уравнений Навье-Стокса считается важной задачей. Иногда её называют даже задачей тысячелетия. Неразрешимость уравнений Навье-Стокса приводит к различным, вплоть до мистических, толкований.
В качестве примера сошлёмся на весьма популярные в прошлом веке так называемые «Фейнмановские лекции по физике» американских лауреатов Нобелевской премии, в которых уравнения Навье–Стокса характеризуются так: «… наши уравнения для Солнца, например, представляющие его как водородный шар, описывают Солнце без солнечных пятен, без зернистой структуры его поверхности, без неровностей и короны. Тем не менее всё это действительно находится в уравнениях, только у нас нет ещё способа вытащить их оттуда… Сегодня мы не можем увидеть в уравнениях потока воды такие вещи, как спиральное строение турбулентности, которое мы видим между вращающимися цилиндрами. Сегодня мы не можем сказать с уверенностью, содержит ли уравнение Шредингера и лягушек, и композиторов и даже мораль или там ничего похожего и быть не может. Мы не можем сказать, требуется ли что-либо сверх уравнения, вроде каких-то богов или нет…» [2]. Помимо подхода Л.Эйлера, возможен и другой подход, впервые указанный Лагранжем. Принципиальная разница между ними состоит в том, что при подходе Л.Эйлера используется неподвижная, общая для всех частиц движущейся сплошной среды система координат, а при подходе Лагранжа используется система координат, связанная с рассматриваемой частицей. Различие между указанными подходами аналогично различию при получении данных о состоянии атмосферы путём использования наземных метеостанций и при использовании шаров-зондов [3].
Рассмотрим силы, действующие на жидкую частицу с использованием подхода Л.Эйлера [1, 4]. Если рассмотреть, используя подход Эйлера, воображаемую частицу сплошной среды в виде параллелепипеда с прямолинейными гранями а, b и c, то момент инерции вращения этого параллелепипеда относительно оси 0х, проходящей через его центр тяжести параллельно грани а будет равен: J = M (a2 + b2)/12. Здесь М – масса среды, ограниченной параллелепипедом. Поэтому, если обозначить через l длину характерного размера указанного дифференциально малого параллелепипеда, то его момент инерции J будет иметь пятый порядок малости, т.е. пропорционален l5.
Вместе с тем, как это можно показать при рассмотрении дифференциально малого (элементарного) прямоугольного параллелепипеда, крутящий момент, действующий на грани параллелепипеда за счёт касательных напряжений, будет иметь четвёртый порядок.
Таким образом, изложенное позволяет сделать вывод, что подход к рассмотрению дифференциально малого параллелепипеда сплошной среды при использовании декартовой системы координат в принципе не позволяет найти уравнение связи для сил инерции вращения и внутренних касательных напряжений частиц сплошной среды. Вследствие этого уравнения Навье–Стокса не должны описывать траектории движений частиц сплошной среды, имеющих кручение. Т.е. они могут описывать в силу особенностей вывода этих уравнений только плоские траектории (не имеющие кручения).
Тот же вывод вытекает и из рассмотрения особенностей траекторий движения частиц сплошной среды, обладающих кручением в виду того, что частицы сплошной среды, втекающие в пределы дифференциально малого шестигранника не являются теми же самыми, что и вытекающие из него, вследствие чего закон Ньютона для массы среды, ограниченной малым шестигранником оказывается неприменимым.
С учётом закона Бернулли, выясняется, что ламинарное течение по прямолинейным расходящимся траекториям оказывается непротиворечивым только при течении в режиме стока. [7] Если рассматривать движение среды по прямолинейным траекториям. (а такое движение есть точное решение указанных уравнений), то учёт закона Бернулли показывает, что подобное движение возможно только в режиме стока, а не источника. Кроме того, с использованием естественных координат можно привести анализ свойств точных решений равнений Навье-Стокса. При этом выявляется тот факт, что траектории движения возможных решения служат линии тока с двумя измерениями, т.е. с нулевым кручением. [8]. Но в этом случае возникает вопрос: а как же тогда происходит течение реальной жидкости? Для выяснения этого был проделан следующий опыт (который может повторить каждый желающий). Опыт заключался в наблюдении за движением осесимметричного пластикового предмета (пустотелой детской игрушки грушеобразной формы размером 75 мм на 102 мм, заполненной водой), буксируемой в воде со скоростью порядка одного метра в секунду.
Представленный видеоклип иллюстрирует самопроизвольное вращение (если смотреть в направлении движения) осесимметричного тела при его движении в спокойной, стоячей воде озера против часовой. стрелки . Таким образом приведённые данные позволяют сделать вывод, что самозакручивание частиц сплошной среды, выявляющееся при обтекании осесимметричных тел, является особенностью и характерным свойством сплошной среды.
Ранее проведённое наблюдение над движением осесимметричных тел в виде шара размером с мяч для настольного тенниса и фигуры из таких шаров в виде гантели соответствуют этому выводу. [9].
Известны так называемые вихри Гёртлера, образующиеся, например, при обтекании равномерным потоком круглого цилиндра согласно опытам ЦАГИ [10]. Образование трёхмерных вихрей Гертлера подтверждается теоретическими выводами из работы Т.С.Сью [6], а также из [5], откуда следует невозможность течения вязкой жидкости по траекториям, отличным от прямых или окружностей в случае плоскостных течений. Однако допущение о плоском (двумерном) характере обтекания кругового цилиндра является обычным допущением во всех известных курсах гидромеханики [1] и др. В качестве других примеров можно привести вихри Тейлора [3] или самопроизвольное вращение двухлопастной фигуры в потоке воздуха, отмеченное Н.Е.Жуковским в своей магистерской диссертации, или самопроизвольное вращение связки шаров в виде «гантели» при движении этой связки в воде [9], или, наконец, всем известное винтообразное движение пузырьков воздуха при их подъёме в воде Это позволяет сделать заключение, что некоторая асимметрия является существенным свойством сплошной среды. Таким образом известно достаточно большое число наблюдаемых течений, в которых явно наличествуют движения с траекториями, обладающими кручением. Это и подъём воздушных пузырьков в воде по винтовым линиям, и образование винтовых траекторий при сливе воды из ёмкости в отверстие, и вихри Гёртлера и др. Однако уравнения Навье-Стокса не содержат такой характеристика движения частиц сплошной среды как кручение траекторий движения частиц [8].
Если принять, что пространство вне земной атмосферы, несмотря не свою разряженность, имеет свойства сплошной среды, то возможно, что отмеченной особенностью сплошной среды объясняется и вращение всех объектов, находящихся в космическом пространстве, начиная от искусственных спутников и до планет и метеоритов.
Как общий вывод, по мнению автора, можно сделать заключение о том, что как теоретическая, так и экспериментальная гидромеханика ещё далеки от своего завершения.
Видео 1. Характер самопроизвольного вращения осесимметричного тела при его равномерном движении в стоячей воде.
Литература.
Статья впервые опубликована 7 июня 2025 г. по адресу: https://vk.ru/@vyskrebtsov-o-vraschenii-chastic-sploshnoi-sredy-i-o-nepolnote-uravnenii