УДК 532.5

Об источниках и стоках жидкости

Выскребцов Владислав Георгиевич

к.т.н., доцент

Московский политехнический университет, Москва

Аннотация: Рассматривается использование формулы Бернулли для течения идеальной и вязкой жидкостей в режиме источник-сток. Сделан вывод, что в таком режиме в действительности может наблюдаться только сток. Теоретический вывод подтверждён опытами.

Ключевые слова: Источник–сток, идеальная и вязкая жидкость, источник и сток, формула Бернулли.

Статья посвящена выяснению возможности истечения из точечного источника вязкой или идеальной жидкости в ламинарном режиме.

Как указывается в известных курсах гидромеханики [1–7] и [9–10], в случае невязкой и несжимаемой жидкости с точечным источником или стоком возможными плоскими течениями могут быть такие, которые имеют прямолинейные траектории. Это так называемые течения источник–сток. Но такие течения казалось бы возможны и в случае вязкой жидкости, что следует из уравнения установившегося движения частиц сплошной среды Стокса, записанного в векторной форме:

(1)

Здесь V – вектор скорости, rotV – ротор скорости, v – динамическая вязкость среды, t – время. Из этого уравнения ясно, что при нулевом значении ротора скорости вязкость не влияет на движение частиц сплошной среды. Поэтому с помощью уравнения движения вязкой среды, втекающей или истекающей из точечного источника, возможно осуществить моделирование течения среды, не имеющей вязкости таким образом, чтобы траектории течения соответствовали прямолинейным течениям (рис.1) согласно [1–7] и [9–10]. Для таких течений ротор скорости равен нулю.

Рис.1. Линии тока при плоском течении идеальной, не имеющей вязкости жидкости, втекающей или истекающей из точечного источника [1].
Рис.1. Линии тока при плоском течении идеальной, не имеющей вязкости жидкости, втекающей или истекающей из точечного источника [1].

Течения в режиме стока и источника считаются равновозможными согласно [1–7] и др. Покажем, что это не так. Для этого рассмотрим две точки одной и той же траектории, но лежащие на разных расстояниях от центра течения, то есть от точечного источника или точечного стока. Течение в режиме источника–стока будем моделировать как течение из боковой поверхности пористой трубки. Пусть две точки расположены на расстояниях r1 и r2, причём r1 < r2. Поскольку жидкость невязкая, то применима формула Бернулли, а именно:

(2)

Здесь g — удельный вес жидкости, V – скорость потока, H – высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, p – давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, g – ускорение свободного падения. Двумерное движение в режиме источник–сток логично моделировать в виде трёхмерного движения среды как течение из (или в) боковой пористой поверхности трубки. Если пористая трубка расположена вертикально, то тогда для обеих точек «1» и «2» имеем соотношение:

(3)

Если обозначить величину расхода сплошной среды, приходящегося на единицу длины пористой трубки, через Q, то его величина будет определяться скоростью истечения из пористой трубки как . А поскольку расход Q для точек «1» и «2» одинаков, то согласно формуле Бернулли получим

(4)

Если r1 < r2, то

(5)

т.е. p1 < p2. Таким образом, в центре течения может быть только сток, а не источник. Для проверки этого вывода автором был проведён ряд опытов, для чего был использован аквариум размером примерно 1 м × 1 м × 0,8 м. Точечный источник моделировался трубкой с пористыми стенками диаметром примерно 1,5 см и длиной около 10 см, закреплённой вертикально. Вода подавалась в пористую трубку через пластиковые трубки аквариумным центробежным насосом. Для визуализации потоков использовалась тушь, помещаемая в виде чернильных «пробок» в пластиковые трубки с помощью медицинского шприца. Можно отметить, что после залива воды в аквариум в воде в течение порядка суток наблюдалась остаточная завихренность. Эта завихренность искажала прямолинейные траектории течения. Поэтому для гашения остаточных завихрений были изготовлены из проволочных каркасов и антикомариной сетки несколько цилиндров разного диаметра, а пористая трубка помещалась в центральный цилиндр (рис. 2). Более подробное описание опытов содержится в [8].

Рис.2 Характер истечения подкрашенной воды из боковой пористой поверхности трубки в чистую воду аквариума. Справа при скоростях истечения порядка нескольких миллиметров в секунду, а слева – при скоростях порядка десятка сантиметров в секунду. Вода вытекает неравномерно по окружности, образуя звёздчатую фигуру при малых скоростях течения, а при больших скоростях эти лучи турбулизируются и смешиваются друг с другом.
Рис.2 Характер истечения подкрашенной воды из боковой пористой поверхности трубки в чистую воду аквариума. Справа при скоростях истечения порядка нескольких миллиметров в секунду, а слева – при скоростях порядка десятка сантиметров в секунду. Вода вытекает неравномерно по окружности, образуя звёздчатую фигуру при малых скоростях течения, а при больших скоростях эти лучи турбулизируются и смешиваются друг с другом.

В режиме стока картина течения воды по сравнению с режимом источника существенно меняется, как показано на рис. 3.

Рис.3 Зарисовка характера течения капель подкрашенной воды при втекании в боковую пористую поверхность цилиндра.
Рис.3 Зарисовка характера течения капель подкрашенной воды при втекании в боковую пористую поверхность цилиндра.

Объёмы туши, введённые в объём чистой воды вытягиваются в направление стенок пористой трубки, и имеют явно выраженный ламинарный характер. Тем самым полностью подтверждается тот факт, что течения в режимах источника и стока, который позволяет сделать учёт теоремы Бернулли, принципиально различны. Однако это игнорируется при рассмотрении более сложных течений [1], например, при рассмотрении течения через отверстие в стенке (рис. 4).

Рис.4. Пример теоретического безвихревого течения согласно [1].
Рис.4. Пример теоретического безвихревого течения согласно [1].
Рис.5 Предполагаемый характер течения вязкой жидкости между двумя цилиндрами с пористыми стенками.
Рис.5 Предполагаемый характер течения вязкой жидкости между двумя цилиндрами с пористыми стенками.

Несмотря на то, что предполагаемый характер ламинарного режима течения возможен вдоль прямых линий как на рис 5, опыты подтверждают факт, заключающийся в том, что такое движение частиц сплошной среды возможен лишь в режиме стока, как это показано на рис. 3 и 6.

Рис 6. Течение подкрашенной воды между коаксиальными цилиндрами с пористыми стенками в режиме стока. Отклонение потока подкрашенной воды от прямолинейного движения обусловлено действием остаточных вихрей между цилиндрами.
Рис 6. Течение подкрашенной воды между коаксиальными цилиндрами с пористыми стенками в режиме стока. Отклонение потока подкрашенной воды от прямолинейного движения обусловлено действием остаточных вихрей между цилиндрами.

Но, несмотря на изложенное, в теоретической гидромеханике приводятся многочисленные примеры воображаемых траекторий течений в ламинарном режиме вдоль расходящихся траекторий как это показано на рис.7. согласно [1] и [9].

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующее правило: если траектории течения сходятся а течение ускоряется, то...

Ламинарный режим течения возможен, а если расходятся и течение замедляется, то нет, возможен только турбулентный режим. Поэтому, приводимый в [1], а также в других учебниках, пример (рис. 7) траекторий вихреисточника (вихрестока), в действительности может быть наблюдаем только в режиме стока, т.к. траектории течения в этом режиме получены как сумма траекторий течений вихря и стока–источника, для которых ротор скорости равен нулю.

Рис. 7. Характер линий тока
Рис. 7. Характер линий тока (траекторий) при установившемся течении в режиме вихреисточника (вихрестока) согласно соответственно учебникам [1] и [9].

На рис.8 показаны представленные практически во всех учебниках по гидромеханике траектории предполагаемого, но не наблюдаемого течения жидкости. Фактически течений в режиме источника в действительности не наблюдается, и это косвенно подтверждается отсутствием фотографий таких течений в довольно полном «Альбоме течений жидкости и газа» Ван-Дайка [2].

Рис. 8. Предполагаемые траектории течения
Рис.8. Предполагаемые траектории течения типа «источник–сток».

Однако по неизвестным автору причинам учёт теоремы (уравнения) Бернулли не ведётся ни в одном из достаточно известных учебников по гидромеханике [1–7] и [9–10], если только не считать картину течения в диффузоре и конфузоре, приведённую у Фабриканта [3]. Эта картина приведена без обоснования, по-видимому, просто как эмпирический факт (рис. 9)

Рис. 9. Характер течения жидкости
Рис. 9 Характер течения жидкости в диффузоре и конфузоре принципиально различен согласно учебнику Фабриканта [3].

Наконец рассмотрим течение в стоке с учётом потерь энергии. Согласно учебнику Лойцянского [1] (стр. 485), значение диссипируемой энергии при движении вязкой жидкости вычисляется как сумма квадратов производных от компонент скорости U, V и W по направлению осей декартовой системы координат. В рассматриваемом случае движение частиц жидкости является одномерным, поэтому лишь одна проекция скорости имеет ненулевое значение, и она изменяется только вдоль одной прямой линии. Поэтому величина рассеиваемой, диссипируемой энергии равна:

(6)

Здесь ν – кинематическая вязкость среды. С учётом выражения скорости через значение расхода, указанного ранее как формула, значение энергии можно записать в виде:

(7)

Это выражение противоречит сделанному выше выводу о том, что течение вязкой жидкости в режиме стока эквивалентно течению жидкости с нулевой вязкостью, при которой Nдис = 0. Этот вывод можно считать в качестве одного из, так называемых, парадоксов теоретической гидромеханики. В качестве ещё одного вывода из (7) следует, что рассеивание энергии между точками r1 и r2 (причём r1 < r2) равно:

(8)

Помимо изложенного обратим внимание на то, что уравнение Бернулли с учётом потерь энергии в вязкой жидкости, имеет вид, отличный от (3) или (4), а именно, с учётом того, что формула, получим [9]:

(9)

Здесь П1–2 потеря механической энергии между точками «1» и «2» (r1 < r2), отнесённая к единице веса частицы жидкости. Поскольку потеря механической энергии жидкой частицы и рассеивание энергии Nдис между точками «1» и «2» одного знака, то П1–2 < 0. Отсюда, в соответствии с (9), имеем:

(10)

Заключение

Таким образом учёт вязкости среды не изменил ранее сделанного вывода о том, что в случае источника течение среды в в ламинарном режиме вдоль прямых линий не возможен, т.к. иначе имело бы место движение частиц среды против давления. Изложенное иллюстрирует рис 10.

Рис. 10. Иллюстрация сравнительной величины членов уравнения Бернулли с учётом потерь энергии на вязкое трение согласно [9].
Рис. 10. Иллюстрация сравнительной величины членов уравнения Бернулли с учётом потерь энергии на вязкое трение согласно [9].

В соответствии с вышеизложенным, при рассмотрении ламинарных течений, по мнению автора, целесообразно учитывать отмеченную особенность режимов течений истока и стока. Сделанные выводы можно проверить опытным путём при проведении лабораторных работ студентами, обучающимися по специальности «Гидромеханика» и имеющих в качестве основного оборудования настольный аквариум и аквариумный центробежный насос.

Список источников

  1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 4-е издание. – М.: Наука, 1973. – 848 с.
  2. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. – М.: Мир. 1985. – 184 с.
  3. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. Общий курс. – М.: Наука, 1964. – 815 с.
  4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической механики. Том 6. Гидродинамика, 3-е издание, – М: Наука, 1986. – 736 с.
  5. Ламб Г. Гидродинамика. – М.: ОГИЗ, 1947. – 929 с.
  6. Кочин Н.Е., Кибель Н.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 6-е издание. – М.: Гос. издательство ФМ, 1963. – 584 с.
  7. Милн–Томсон Л.М. Теоретическая гидромеханика. – М.: Мир. 1964. – 660 с.
  8. Выскребцов В.Г. Неустойчивость расходящихся течений и устойчивость сходящихся течений воды. Экспериментальные наблюдения // Материалы VIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред имени А.Г. Горшкова. – М.: МАИ, 2007.
  9. Попов Д.Н., Пананотти С.С., Рябинин М.В. Гидромеханика. – М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 382 с.
  10. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 7-е издание. – М.: Бустард, 2003. – 840 с.

About Sources and Drains of Liquid 2024

Vyskrebtsov V.G., Moscow Polytechnic University, Moscow

vyskrebtsov2016@yandex.ru
http://vyskrebtsov.su
http://vyskrebtsov.ru
https://vk.com/vyskrebtsov

Annotation: The use of Bernoulli's formula for the flow of ideal and viscous fluids in the source-sink mode is considered. It is concluded that in this regime only runoff can actually be observed. The theoretical conclusion is confirmed by experiments.

Key words: Source–sink, ideal and viscous fluid, source and sink, Bernoulli’s formula.

List of Sources

  1. Loitsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas. 4th edition. – Moscow: Nauka, 1973. – 848 p.
  2. Van Dyke M. Album of liquid and gas flows. – M.: Mir. 1985. – 184 p.
  3. Fabricant N.Ya. Aerodynamics. General course. – M.: Nauka, 1964. – 815 p.
  4. Landau L.D., Lifshits E.M. Course of theoretical mechanics. Volume 6. Hydrodynamics, 3rd edition, Moscow: Nauka, 1986. – 736 p.
  5. Lamb G. Hydrodynamics. – Moscow: OGIZ, 1947. – 929 p.
  6. Kochin N.E., Kibel N.A., Roze N.V. Theoretical hydromechanics. 6th edition. – Moscow: State Publishing House FM, 1963. – 584 p.
  7. Milne–Thomson L.M. Theoretical hydromechanics. – M.: Mir. 1964. – 660 p.
  8. Vyskrebtsov V.G. Instability of divergent currents and stability of converging water currents. Experimental observations // Materials of the VIII International Symposium "Dynamic and technological problems of mechanics of structures and continuous media named after A.G. Gorshkov. – M.: MAI, 2007.
  9. Popov D.N., Pananotti S.S., Ryabinin M.V. Hydromechanics. – M.: Publishers Bauman Moscow State Technical University, 2002. – 382 p.
  10. Loitsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas. 7th edition. – M.: Bustard, 2003. – 840 p.

Статья опубликована 19.01.2025 г. по адресу: https://vk.com/@vyskrebtsov-ob-istochnikah-i-stokah-zhidkosti